2. Lugares geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

 -Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

2.2 La mediatriz y la bisectriz:

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

La mediatriz de un segmento, es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico  (la recta) cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.

2.3 Las cónicas:

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Se denomina cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano. Si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

2.3.2 La circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

2.3.3 Elipse

Figura geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un círculo achatado.

Obtención en un cono:

La obtención de una elipse en un cono se hace mediante la intersección del cono con un plano oblicuo a la base.

Método del jardinero:

Es una forma de dibujar una elipse. La idea es la siguiente, clava dos pequeños clavos sobre alguna superficie cualquiera, la tierra misma, separados por una distancia digamos 20 cm (son los focos del elipse). Luego, construye un lazo con hilo, podría ser, de unos  50 a 55 cm de largo, pon el lazo en los clavos, como si el lazo los abrazara, y luego, con otro clavo, estira el lazo al ras de la superficie y comienza a dibujar el elipse en la superficie que has elegido, poniendo siempre tensión sobre el  lazo y cuidando que no se salga de los clavos ni tampoco del clavo con el cual estas dibujando.

Mesa de billar elíptica:

Curiosidad del metro de Madrid:

La estaciones antiguas del metro de Madrid, líneas de la 1 a la 5, están construidas en forma de elípse.

Debido a este tipo de construcción, dos personas que se encuentren en sus focos y en andén distinto pueden entablar una conversación hablando en un tono normal.

Esto es así ya que el sonido rebotará en la forma elíptica de la estación y llegará al otro foco donde el otro conversador oirá lo que le dicho el primero. Ver la siguiente imagen.

2.3.4 La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices.

Obtención en un cono:

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

 La lámpara hiperbólica:

Muchos tienen en sus casas esas lámparas con pantalla  que se usan en la mesas de luz de las habitaciones, que al estar encedidas emanan un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los cuales forman sobre la pared dos  figuras con forma de hipérbole.


Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:


– Se define como origen al filamento del foco o bombilla de la lámpara.

– Los ejes x e y forman el plano horizontal con el eje x paralelo a la pared y el eje y perpendicular a la pared.

– El eje z es el eje vértical.

Para desarrollar una descripción matemática de las figuras proyectadas por la lámpara sobre la pared, utilizando este sistema de coordenadas, es útil considerar a la luz que se sale por los extremos superior e inferior de la lámpara, como los círculos de dos conos simétricos respecto del eje z con un origen común situado en el filamento del foco.  Los dos conos de luz no son iguales e intersectan la pared en y=D. El siguiente diagrama ejemplifica la idea:

2.3.5 La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.



Elementos de la parábola:

Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija d.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Obtención en un cono

Una parábola es una sección cónica, una curva abierta obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y paralelo con la generatriz.

La antena parabólica

La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie es en realidad un paraboloide de revolución. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full dúplex, llamadas así cuando pueden trasmitir y recibir simultáneamente. Suelen ser utilizadas a frecuencias altas y tienen una ganancia elevada.
En las antenas parabólicas transmisoras, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide.

El horno solar

Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Reflectores parabólicos o helióstatos concentran la luz (de insolación) sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3.500 °C, y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o nanomateriales. El horno solar más grande es el horno solar de Odeillo, situado en Font-Romeu-Odeillo-Via (Pirineos Orientales, Francia), y fue inaugurado en el año 1970. Emplea un conjunto de espejos planos para recolectar la luz del sol, reflejándola sobre un gran espejo curvo.

El espejo parabólico

Un espejo parabólico es aquel que tiene una forma de antena parabólica, o cuyo perfil es símil con una parábola (y=x²), en el caso de un espejo cóncavo parabólico, un espejo parabólico convexo es algo bastante inútil, no importa mucho porque se aplican las mismas propiedades ópticas que en cualquier espejo, cóncavo, si el haz de luz incide paralelamente al eje, el haz de luz refractado pasa por el foco, y por descarte, si el haz de luz incidente pasa por el foco se refleja paralelamente.

Cóncavo:

Convexo:

Movimiento parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un objeto que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a la fuerza de la gravedad.

Lo vemos todos los días practicando cualquier deporte, como el baloncesto, futbol, balonmano, etc.
En el siguiente video, se explica mucho mejor: